Maison &
  Bricolage

Pneu qui roule en perd les rayons - part 1, le pneu en mousse

Pneu qui roule en perd les rayons - part 1, le pneu en mousse
de : pehache
le : vendredi 28 avril 2017 a 20h52
Un peu de géométrie avec Geogebra pour illustrer les discussions des
derniers temps...
Je commence par le modèle du pneu plein en mousse, c'est à dire un pneu
dont la bande roulement est très peu rigide dans le sens longitudinal et
peut se contracter (ou se dilater) facilement.
ATTENTION : ceci n'est PAS un bon modèle pour le pneu de voiture, dont
la bande roulement est justement très rigide. Je posterai plus tard cet
autre cas (plus compliqué).
Hypothèse de base : il n'y a aucun glissement entre le pneu et la route.
Dans ce modèle, le pneu qui est bien circulaire quand il n'est pas en
charge se déforme au contact de la route et forme un méplat quand il est
en charge, mais la déformation n'affecte pas le reste de la bande de
roulement. Cette première figure le traduit :
figure 1 : http://prntscr.com/f1zqg1
- Le cercle noir correspond au pneu circulaire non chargé, de rayon
R00cm
- Le cercle vert correspond au cercle virtuel de rayon 20cm, après un
écrasement de 10cm du pneu du la route (j'ai exagéré les valeurs pour
bien montrer les phénomènes).
- la ligne rouge continue la bande roulement déformée, qui suit le
méplat de longueur L au contact de la route, et le cercle de rayon R0
en dehors du contact. Les points A et B sont sur la bande roulement à
chaque extrémité du méplat.
- Il y a évidemment contraction de la bande roulement au niveau du
méplat, puisque la distance L entre les points A et B (44.72cm) est
plus petite que l'arc de cercle AB sur le rayon non déformé.
- On place par ailleurs un point C sur la bande roulement, de sorte que
l'angle BOC soit égal à l'angle AOB (96.38° sur la figure).
Puis on fait tourner la roue vers la droite, jusqu'à ce que le point C
arrive au contact avec la route :
figure 2 : http://prnt.sc/f1zwhr
- on a fait l'hypothèse qu'il n'y a avait pas de glissement, donc le
point B n'a pas bougé par rapport à la route; par contre il se
retrouve maintenant de l'autre côté du méplat BC de longeur L
- le point A a quand lui suivi la partie libre de la bande roulement,
et forme un angle final avec B (BOA) de 96.38° également. On voit en
fait que les deux triangles AOB et BOC ont tourné de 96.38° sans se
déformer
- Le centre de la roue étant toujours au-dessus du milieu du méplat, et
étant donné toutes les symétries observées, la roue s'est forcément
déplacé de la longueur L du plat soit 44,72cm
Donc on a un déplacement de 44,72cm pour une rotation de 96,38°, ce qui
donnerait pour un tour complet un déplacement de :
44,72 * 360/96,38 = 167,0cm (noté Périmètre3 dans la figure)
C'est moins que la circonférence du pneu non chargé (Perimetre08,5),
c'est même un peu moins que le périmètre de la bande roulement en charge
(Périmètre22,8) mais nettement plus que celle du cercle virtuel de
rayon R1 (Perimetre15,7). C'est en fait la somme des bases des
triangles si on en mettait sur tout le tour (tel que c'est dessiné on ne
tomberait pas su un nombre entier de triangles mais c'est l'idée), comme
le suggérait Edwige.
On peut faire une animation du déplacement entre les deux positions :
https://www.youtube.com/watch?v=OsAlUhwokV8
- On fait apparaitre un point B', qui serait la position du point B
sans la déformation du méplat, le segment B'B montre en fait comment
se fait la déformation.
- A, C, et B' ont une vitesse angulaire constante. Par contre la
vitesse angulaire de B varie suivant sa position le long du méplat.
- On voit que pendant le déplacement, les triangles AOB et BOC se
déforment à cause du méplat : les triangles qui pivotent sans se
déformer sont AOB' et B'OC
- On fait aussi apparaitre un point I sur le cercle vert virtuel, qui
tourne à la même vitesse angulaire que les A, B', et C : on voit
qu'il ne marque pas d'"arrêt" en arrivant au contact de la route, ce
qui veut dire qu'un point de ce cercle serait en glissement sur la
route pour respecter sa vitesse angulaire.
Voilà le fichier Geogebra si certains veulent jouer avec :
http://www.cjoint.com/....