Pneu qui roule en perd les rayons - part 2, le pneu

Pneu qui roule en perd les rayons - part 2, le pneu

Suite de la géométrie avec Geogebra pour illustrer les discussions des
derniers temps...
Je prends cette fois-ci le modèle du pneu qui a une bande de roulement
totalement rigide dans le sens longitudinal : elle ne peut pas se
contracter ni se dilater, donc sa longueur reste constante quelle que
soit sa déformation.
Ceci est un bien meilleur modèle pour représenter le pneu de voiture,
dont la bande roulement est renforcée par un treillis métallique pris en
sandwich dans le caoutchouc.
Hypothèse de base : il n'y a toujours aucun glissement entre le pneu et
la route.
Dans ce modèle, le pneu qui est bien circulaire quand il n'est pas en
charge se déforme au contact de la route et forme un méplat quand il est
en charge, mais cette fois-ci la déformation affecte tout le reste de la
bande de roulement afin que sa longueur totale reste constante. On
suppose qu'en dehors du méplat cela se traduit par une légère
augmentation du rayon. Cette première figure le traduit :
figure 1 : http://prntscr.com/f20up2
- Le cercle noir correspond au pneu circulaire non chargé, de rayon
R00cm
- Le cercle vert correspond au cercle virtuel de rayon 20cm, après un
écrasement de 10cm du pneu du la route (j'ai exagéré les valeurs pour
bien montrer les phénomènes).
- la ligne rouge continue correspond à la bande roulement déformée, qui
suit le méplat de longueur L au contact de la route, et un cercle de
rayon R2 très légèrement supérieur à R0 en dehors du contact. Les
points A et B sont sur la bande roulement à chaque extrémité du
méplat.
- La valeur de R2 est ajustée de sorte que la longueur totale de la
bande roulement (Périmètre2) soit égale au périmètre du pneu non
chargé (Périmètre0).
- On place par ailleurs un point C sur la bande roulement, de sorte que
la distance entre B et C le long de la bande roulement soit égale à
la distance entre A et B (égale à la longueur du méplat)
Puis on fait tourner la roue vers la droite, jusqu'à ce que le point C
arrive au contact avec la route :
figure 2 : http://prntscr.com/f20v0l
- on a fait l'hypothèse qu'il n'y avait pas de glissement, donc le
point B n'a pas bougé par rapport à la route; par contre il se
retrouve maintenant de l'autre côté du méplat BC de longeur L
- On voit que le triangle BOC après rotation occupe la même place que
le triangle AOB avant rotation, avec la même forme.
- Le centre de la roue étant toujours au-dessus du milieu du méplat, et
étant donné toutes les symétries observées, la roue s'est forcément
déplacé de la longueur L du plat soit 47,5cm
- pendant ce temps le point A s'est également déplacé de L le long de
la bande de roulement, puisque la distance entre deux points le long
de la bande est constante en permanence.
Donc on comprend bien que chaque fois que la roue avance d'une certaine
distance, un point quelconque de la bande de roulement se déplace de la
même distance le long de celle-ci. En conséquence, chaque fois que la
fois se déplace d'une distance égale à la longueur de la bande
roulement, le point fait exactement un tour complet, et si un point a
fait un tour complet, la roue dans son ensemble aussi.
Dit dans l'autre sens, quand la roue fait un tour elle avance d'une
distance égale à la longueur de la bande de roulement, qui ici est
toujours 188,5cm (Périmètre2) et égale au périmètre du pneu non déformé
(Périmètre0).
On peut faire une animation du déplacement entre les deux positions :
https://www.youtube.com/watch?v=ii7Q Bs3wTs
- On fait apparaitre un point B', qui serait la position du point B
sans la déformation du pneu, le segment B'B montre en fait comment
se fait la déformation.
- A, C, et B' ont une vitesse angulaire constante. Par contre la
vitesse angulaire de B varie suivant sa position le long du méplat.
- contrairement au cas précédent, les triangles AOB' et B'OC se
déforment en pivotant. Il faudrait apparaitre les points A' et C'
positions sans déformation) pour faire apparaitre des triangles qui
pivotent sans se déformer.
- On fait aussi apparaitre un point I sur le cercle vert virtuel, qui
tourne à la même vitesse angulaire que les A, B', et C : on voit
qu'il ne marque pas d'"arrêt" en arrivant au contact de la route, ce
qui veut dire qu'un point de ce cercle serait en glissement sur la
route pour respecter sa vitesse angulaire.
Voilà le fichier Geogebra si certains veulent jouer avec :
http://www.cjoint.com/....